微分積分例

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = \sin (y) + x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

ステップ 1.2

総和則では、 $\sin (y) + x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.3

$y$ に関する $\sin (y)$ の微分係数は $\cos (y)$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

ステップ 1.4.2

$\cos (y)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

ステップ 2

$N (x, y) = x \cos (y)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

ステップ 2.2

$\cos (y)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x \cos (y)$ の微分係数は $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

ステップ 2.4

$\cos (y)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$\cos (y)$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\cos (y)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\cos (y) = \cos (y)$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos (y) = \cos (y)$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = x \cos (y)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

ステップ 5.2

$\cos (y)$ の $y$ に関する積分は $\sin (y)$ です。

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

ステップ 5.3

簡約します。

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

ステップ 8.2

総和則では、 $x \sin (y) + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$\sin (y)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x \sin (y)$ の微分係数は $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

ステップ 8.3.3

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $\sin (y)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

ステップ 9.1.2

$\sin (y) + x - \sin (y)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$\sin (y)$ から $\sin (y)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

ステップ 9.1.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x$

ステップ 10

$x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x d x$

ステップ 10.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

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