微分積分 例

微分方程式の解を解く
ステップ 1
微分方程式を解くために、の指数のとき、とします。
ステップ 2
について方程式を解きます。
ステップ 3
に関するの微分係数を取ります。
ステップ 4
に関するの微分係数を取ります。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
に微分係数を取ります。
ステップ 4.2
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 4.3
およびのとき、であるという商の法則を使って微分します。
ステップ 4.4
定数の規則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.4.1
をかけます。
ステップ 4.4.2
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 4.4.3
式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.4.3.1
をかけます。
ステップ 4.4.3.2
からを引きます。
ステップ 4.4.3.3
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 4.5
に書き換えます。
ステップ 5
元の方程式に、に代入します。
ステップ 6
代入された微分方程式の解を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
微分方程式をとして書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1
の各項にを掛け、分数を消去します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1.1
の各項にを掛けます。
ステップ 6.1.1.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1.2.1.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1.2.1.1.1
の先頭の負を分子に移動させます。
ステップ 6.1.1.2.1.1.2
で因数分解します。
ステップ 6.1.1.2.1.1.3
共通因数を約分します。
ステップ 6.1.1.2.1.1.4
式を書き換えます。
ステップ 6.1.1.2.1.2
をかけます。
ステップ 6.1.1.2.1.3
をかけます。
ステップ 6.1.1.2.1.4
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 6.1.1.2.1.5
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1.2.1.5.1
を移動させます。
ステップ 6.1.1.2.1.5.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 6.1.1.2.1.5.3
からを引きます。
ステップ 6.1.1.2.1.6
を簡約します。
ステップ 6.1.1.2.1.7
をまとめます。
ステップ 6.1.1.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1.3.1
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 6.1.1.3.2
の指数を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1.3.2.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 6.1.1.3.2.2
をかけます。
ステップ 6.1.1.3.3
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1.3.3.1
を移動させます。
ステップ 6.1.1.3.3.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 6.1.1.3.3.3
からを引きます。
ステップ 6.1.1.3.4
を簡約します。
ステップ 6.1.2
で因数分解します。
ステップ 6.1.3
を並べ替えます。
ステップ 6.2
のとき、積分因数は公式で定義されます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1
積分を設定します。
ステップ 6.2.2
を積分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.2.1
に対して定数なので、を積分の外に移動させます。
ステップ 6.2.2.2
に関する積分はです。
ステップ 6.2.2.3
簡約します。
ステップ 6.2.3
積分定数を削除します。
ステップ 6.2.4
対数のべき乗則を利用します。
ステップ 6.2.5
指数関数と対数関数は逆関数です。
ステップ 6.2.6
負の指数法則を利用して式を書き換えます。
ステップ 6.3
各項に積分因数を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.1
各項にを掛けます。
ステップ 6.3.2
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.2.1
をまとめます。
ステップ 6.3.2.2
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 6.3.2.3
をまとめます。
ステップ 6.3.2.4
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.2.4.1
をかけます。
ステップ 6.3.2.4.2
乗します。
ステップ 6.3.2.4.3
乗します。
ステップ 6.3.2.4.4
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 6.3.2.4.5
をたし算します。
ステップ 6.3.3
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 6.3.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.4.1
の先頭の負を分子に移動させます。
ステップ 6.3.4.2
で因数分解します。
ステップ 6.3.4.3
共通因数を約分します。
ステップ 6.3.4.4
式を書き換えます。
ステップ 6.4
左辺を積を微分した結果として書き換えます。
ステップ 6.5
各辺の積分を設定します。
ステップ 6.6
左辺を積分します。
ステップ 6.7
右辺を積分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.7.1
に対して定数なので、を積分の外に移動させます。
ステップ 6.7.2
べき乗則では、に関する積分はです。
ステップ 6.7.3
に書き換えます。
ステップ 6.8
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.8.1
をまとめます。
ステップ 6.8.2
をまとめます。
ステップ 6.8.3
両辺にを掛けます。
ステップ 6.8.4
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.8.4.1
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.8.4.1.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.8.4.1.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 6.8.4.1.1.2
式を書き換えます。
ステップ 6.8.4.2
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.8.4.2.1
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.8.4.2.1.1
分配則を当てはめます。
ステップ 6.8.4.2.1.2
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.8.4.2.1.2.1
をまとめます。
ステップ 6.8.4.2.1.2.2
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.8.4.2.1.2.2.1
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.8.4.2.1.2.2.1.1
乗します。
ステップ 6.8.4.2.1.2.2.1.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 6.8.4.2.1.2.2.2
をたし算します。
ステップ 7
に代入します。
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