微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$

ステップ 1

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{2}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 1}$

ステップ 2

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- 1}$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- 1}$

ステップ 4

$x$ に関する $v^{- 1}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$v^{- 1}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

ステップ 4.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

$v$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

ステップ 5

元の方程式 $\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$ の $- \frac{v'}{v^{2}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- 1}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 6.1.1

方程式を $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.2.1.1

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.1.2

$v^{2}$ を $- v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.4

指数を足して $v^{- 1}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.2.1.4.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + 2 x (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{2 - 1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.4.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.5

$2 x v^{1} \cdot - 1$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} + 2 x v \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.2.1.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 6.1.1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

ステップ 6.1.1.1.3.2

${(v^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1.1.1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

ステップ 6.1.1.1.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 2} v^{2}$

ステップ 6.1.1.1.3.3

指数を足して $v^{- 2}$ に $v^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.1.1.3.3.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} (v^{2} v^{- 2})$

ステップ 6.1.1.1.3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{2 - 2}$

ステップ 6.1.1.1.3.3.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{0}$

ステップ 6.1.1.1.3.4

$- x^{2} v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

ステップ 6.1.1.2

項を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} - 2 v x = - x^{2}$

ステップ 6.1.2

$v$ を $- 2 v x$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v (- 2 x) = - x^{2}$

ステップ 6.1.3

$v$ と $- 2 x$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

ステップ 6.2

$P (x) = - 2 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 6.2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 2 x d x}$

ステップ 6.2.2

$- 2 x$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 \int x d x}$

ステップ 6.2.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 6.2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 6.2.2.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 6.2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 6.2.2.3.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 6.2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

ステップ 6.2.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

ステップ 6.2.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

ステップ 6.2.2.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$e^{- x^{2} + C}$

ステップ 6.2.3

積分定数を削除します。

$e^{- x^{2}}$

ステップ 6.3

各項に積分因数 $e^{- x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

各項に $e^{- x^{2}}$ を掛けます。

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

ステップ 6.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

ステップ 6.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$

ステップ 6.3.4

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 x v e^{- x^{2}} = - x^{2} e^{- x^{2}}$

ステップ 6.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] = - x^{2} e^{- x^{2}}$

ステップ 6.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] d x = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

ステップ 6.6

左辺を積分します。

$e^{- x^{2}} v = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

ステップ 6.7

右辺を積分します。

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ステップ 6.7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = - \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

ステップ 6.7.2

$u_{1} = - x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.7.2.1

$u_{1} = - x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.7.2.1.1

$- x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 6.7.2.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6.7.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 x)$

ステップ 6.7.2.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x$

ステップ 6.7.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

ステップ 6.7.3

簡約します。

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ステップ 6.7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

ステップ 6.7.3.2

$\sqrt{- u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = - \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

ステップ 6.7.3.3

$e^{u_{1}}$ と $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = - \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 6.7.4

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = - - \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 6.7.5

簡約します。

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ステップ 6.7.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} v = 1 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 6.7.5.2

$\int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} v = \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 6.7.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 6.7.7

$u = e^{u_{1}}$ と $d v = \sqrt{- u_{1}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.7.8

簡約します。

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ステップ 6.7.8.1

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.7.8.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.7.8.3

$2$ を ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.7.8.4

$2$ を $e^{u_{1}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.7.8.5

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.7.8.6

$e^{u_{1}}$ と $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

ステップ 6.7.8.7

$2$ を ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

ステップ 6.7.8.8

$2$ を $e^{u_{1}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 6.7.9

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 6.7.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 6.7.10.2

$\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 6.7.11

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.7.12

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

ステップ 6.7.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.13.1

$\frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ を $\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ に書き換えます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 6.7.13.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.13.2.1

$e^{u_{1}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 6.7.13.2.2

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 6.7.13.2.3

$2$ を $e^{u_{1}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 6.7.13.2.4

$2$ を ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 6.7.13.2.5

$\frac{2}{3}$ と ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 6.7.13.2.6

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ と $e^{u_{1}}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

ステップ 6.7.13.2.7

$- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ と $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ をたし算します。

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \cdot 0 + C$

ステップ 6.7.13.2.8

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$e^{- x^{2}} v = 0 + C$

ステップ 6.7.13.2.9

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{- x^{2}} v = C$

ステップ 6.8

$e^{- x^{2}} v = C$ の各項を $e^{- x^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.8.1

$e^{- x^{2}} v = C$ の各項を $e^{- x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 6.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.8.2.1

$e^{- x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 6.8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 7

$y^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 1} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

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微分積分 例

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