微分積分例

$\frac{d y}{d x} = e^{- 11 x}$ , $(0, 13)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = e^{- 11 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int e^{- 11 x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{- 11 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = - 11 x$ とします。次に $d u = - 11 d x$ すると、 $- \frac{1}{11} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = - 11 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$- 11 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 11 x]$

ステップ 2.3.1.1.2

$- 11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 11 x$ の微分係数は $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 11 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 11 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.4

$- 11$ に $1$ をかけます。

$- 11$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 11} d u$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{11}) d u$

ステップ 2.3.2.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{11}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{11} d u$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{11} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{11}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{11}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{11} \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $- 11 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ の $0$ を $x$ に、 $13$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$13 = - \frac{1}{11} e^{- 11 \cdot 0} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$ として書き換えます。

$- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 11$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{11} \cdot e^{0} + K = 13$

ステップ 4.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{1}{11} \cdot 1 + K = 13$

ステップ 4.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{11} + K = 13$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $\frac{1}{11}$ を足します。

$K = 13 + \frac{1}{11}$

ステップ 4.3.2

$13$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{11}{11}$ を掛けます。

$K = 13 \cdot \frac{11}{11} + \frac{1}{11}$

ステップ 4.3.3

$13$ と $\frac{11}{11}$ をまとめます。

$K = \frac{13 \cdot 11}{11} + \frac{1}{11}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{13 \cdot 11 + 1}{11}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$13$ に $11$ をかけます。

$K = \frac{143 + 1}{11}$

ステップ 4.3.5.2

$143$ と $1$ をたし算します。

$K = \frac{144}{11}$

ステップ 5

$\frac{144}{11}$ を $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{144}{11}$ を $K$ に代入します。

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + \frac{144}{11}$

ステップ 5.2

$e^{- 11 x}$ と $\frac{1}{11}$ をまとめます。

$y = - \frac{e^{- 11 x}}{11} + \frac{144}{11}$

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