微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{4 y - 3}$ を掛けます。

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

ステップ 1.4

$4 y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 4 y - 3$ とします。次に $d u = 4 d y$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 4 y - 3$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$4 y - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $4 y - 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [4 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.3.1

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $4 y$ の微分係数は $4 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1.4.1

$- 3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2.2

$4$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $4 y - 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| 4 y - 3 |)$ をまとめます。

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

ステップ 3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

ステップ 3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

ステップ 3.4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

ステップ 3.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

ステップ 3.6

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

ステップ 3.7

$y$ について解きます。

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ステップ 3.7.1

方程式を $\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ として書き換えます。

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

ステップ 3.7.2

両辺に $x^{4}$ を掛けます。

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

ステップ 3.7.3

簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1.1

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

ステップ 3.7.3.1.1.2

式を書き換えます。

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

ステップ 3.7.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.7.3.2.1

$e^{4 C} x^{4}$ の因数を並べ替えます。

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

ステップ 3.7.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.7.4.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

ステップ 3.7.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

ステップ 3.7.4.3

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.4.3.1

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.7.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 3.7.4.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ の $1$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ として書き換えます。

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

ステップ 6.2.2

$C$ に $1$ をかけます。

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

ステップ 6.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $\frac{3}{4}$ を引きます。

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

ステップ 6.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

ステップ 6.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

ステップ 6.3.4

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 6.4

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$C = 1$

ステップ 7

$1$ を $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 7.2

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

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