微分積分 例

微分方程式の解を解く
,
ステップ 1
変数を分けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
の各項をで割ります。
ステップ 1.1.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.2.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 1.1.2.1.2
で割ります。
ステップ 1.1.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.1
分数の前に負数を移動させます。
ステップ 1.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 1.3
両辺にを掛けます。
ステップ 1.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 1.4.2
式を書き換えます。
ステップ 1.5
方程式を書き換えます。
ステップ 2
両辺を積分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
各辺の積分を設定します。
ステップ 2.2
左辺を積分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1
とします。次にすると、です。を利用して書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1.1
とします。を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1.1.1
を微分します。
ステップ 2.2.1.1.2
総和則では、に関する積分はです。
ステップ 2.2.1.1.3
の値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1.1.3.1
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 2.2.1.1.3.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2.2.1.1.3.3
をかけます。
ステップ 2.2.1.1.4
定数の規則を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1.1.4.1
について定数なので、についての微分係数はです。
ステップ 2.2.1.1.4.2
をたし算します。
ステップ 2.2.1.2
を利用して問題を書き換えます。
ステップ 2.2.2
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.2.1
をかけます。
ステップ 2.2.2.2
の左に移動させます。
ステップ 2.2.3
に対して定数なので、を積分の外に移動させます。
ステップ 2.2.4
に関する積分はです。
ステップ 2.2.5
簡約します。
ステップ 2.2.6
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 2.3
に関する積分はです。
ステップ 2.4
右辺の積分定数をとしてまとめます。
ステップ 3
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1
方程式の両辺にを掛けます。
ステップ 3.2
方程式の両辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.1
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.1.1
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.1.1.1
をまとめます。
ステップ 3.2.1.1.2
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.1.1.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 3.2.1.1.2.2
式を書き換えます。
ステップ 3.2.2
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.2.2.1
分配則を当てはめます。
ステップ 3.3
対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。
ステップ 3.4
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.4.1
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.4.1.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.4.1.1.1
対数の中のを移動させてを簡約します。
ステップ 3.4.1.1.2
偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、の絶対値を削除します。
ステップ 3.4.1.2
対数の商の性質を使います、です。
ステップ 3.5
について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。
ステップ 3.6
対数の定義を利用してを指数表記に書き換えます。が正の実数でならば、と同値です。
ステップ 3.7
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.7.1
方程式をとして書き換えます。
ステップ 3.7.2
両辺にを掛けます。
ステップ 3.7.3
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.7.3.1
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.7.3.1.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.7.3.1.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 3.7.3.1.1.2
式を書き換えます。
ステップ 3.7.3.2
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.7.3.2.1
の因数を並べ替えます。
ステップ 3.7.4
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.7.4.1
絶対値の項を削除します。これにより、なので方程式の右辺にができます。
ステップ 3.7.4.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 3.7.4.3
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.7.4.3.1
の各項をで割ります。
ステップ 3.7.4.3.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.7.4.3.2.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.7.4.3.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 3.7.4.3.2.1.2
で割ります。
ステップ 4
定数項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
積分定数を簡約します。
ステップ 4.2
定数を正または負でまとめます。
ステップ 5
初期条件を利用し、に、に代入しの値を求めます。
ステップ 6
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
方程式をとして書き換えます。
ステップ 6.2
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 6.2.2
をかけます。
ステップ 6.3
を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.3.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 6.3.2
を公分母をもつ分数で書きます。
ステップ 6.3.3
公分母の分子をまとめます。
ステップ 6.3.4
からを引きます。
ステップ 6.4
方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。
ステップ 7
の中のに代入し簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.1
に代入します。
ステップ 7.2
をかけます。
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