微分積分例

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

ステップ 1

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

ステップ 1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = r x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

ステップ 1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $r x$ で置き換えます。

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

ステップ 1.3.2

微分します。

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ステップ 1.3.2.1

$r$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $r x$ の微分係数は $r \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{r x} (r \cdot 1)$

ステップ 1.3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.2.3.1

$r$ に $1$ をかけます。

$e^{r x} r$

ステップ 1.3.2.3.2

$e^{r x} r$ の因数を並べ替えます。

$r e^{r x}$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = r e^{r x}$

ステップ 2

$y''$ を求めます。

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ステップ 2.1

微分係数を設定します。

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

ステップ 2.2

$r$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $r e^{r x}$ の微分係数は $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ です。

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = r x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r x$ とします。

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $r x$ で置き換えます。

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

ステップ 2.4

$r$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $r x$ の微分係数は $r \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.5

$r$ を $1$ 乗します。

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.6

$r$ を $1$ 乗します。

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

ステップ 2.10

$e^{r x}$ に $1$ をかけます。

$y'' = r^{2} e^{r x}$

ステップ 3

与えられた微分方程式に代入します。

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

ステップ 4

$y$ を $e^{r x}$ に代入します。

$4 (r^{2} y) = y$

ステップ 5

$r$ について解きます。

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ステップ 5.1

$4 r^{2} y = y$ の各項を $4 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1

$4 r^{2} y = y$ の各項を $4 y$ で割ります。

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.2.2.2

$r^{2}$ を $1$ で割ります。

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

ステップ 5.1.3.1.2

式を書き換えます。

$r^{2} = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 5.3

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 5.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = \pm \frac{1}{2}$

ステップ 5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

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