微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x$

ステップ 1

$P (x) = - \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{x}$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 1.2.3

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 1.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 1.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 2.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 2.2.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.4.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 2.2.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 2.2.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 2.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 2.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x$

ステップ 2.4

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

ステップ 2.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

ステップ 2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 2$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 2 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} y = \int 2 d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{x} y = 2 x + C$

ステップ 7

$y$ について解きます。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = 2 x + C$

ステップ 7.2

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

ステップ 7.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (2 x + C) x$

ステップ 7.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$(2 x + C) x$ を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = 2 x \cdot x + C x$

ステップ 7.3.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.3.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = 2 (x \cdot x) + C x$

ステップ 7.3.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = 2 x^{2} + C x$

ステップ 7.3.2.1.3

$2 x^{2}$ と $C x$ を並べ替えます。

$y = C x + 2 x^{2}$

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