微分積分例

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 1$ , $t = 5$ , $h = 0.5$

ステップ 1

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ であるような $f (t, y)$ を定義します。

$f (t, y) = e^{t}$

ステップ 2

$f (0, 1)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$0$ を $t$ に、 $1$ を $y$ に代入します。

$f (0, 1) = e^{0}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$e$ を概算で置き換えます。

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

ステップ 2.2.2

$2.71828182$ を $0$ 乗します。

$f (0, 1) = 1$

ステップ 3

再帰式 $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ を利用し、 $y_{1}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

代入します。

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$0.5$ に $1$ をかけます。

$y_{1} = 1 + 0.5$

ステップ 3.2.2

$1$ と $0.5$ をたし算します。

$y_{1} = 1.5$

ステップ 4

再帰式 $t_{1} = t_{0} + h$ を利用し、 $t_{1}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

代入します。

$t_{1} = 0 + 0.5$

ステップ 4.2

$0$ と $0.5$ をたし算します。

$t_{1} = 0.5$

ステップ 5

$f (0.5, 1.5)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$0.5$ を $t$ に、 $1.5$ を $y$ に代入します。

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$e$ を概算で置き換えます。

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

ステップ 5.2.2

$2.71828182$ を $0.5$ 乗します。

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

ステップ 6

再帰式 $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ を利用し、 $y_{2}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

代入します。

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$0.5$ に $1.64872127$ をかけます。

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

ステップ 6.2.2

$1.5$ と $0.82436063$ をたし算します。

$y_{2} = 2.32436063$

ステップ 7

再帰式 $t_{2} = t_{1} + h$ を利用し、 $t_{2}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

代入します。

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

ステップ 7.2

$0.5$ と $0.5$ をたし算します。

$t_{2} = 1$

ステップ 8

望ましい値に近づくまで同じ方法を続けます。

ステップ 9

表に概算値を表記します。

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

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