微分積分例

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

ステップ 1

与えられた解が微分方程式を満たすことを検算します。

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ステップ 1.1

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x^{3} - 4 + c$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.3.4

$c$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $c$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0 + 0$

ステップ 1.1.3.5

項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.5.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.3.5.2

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 3 x^{2}$

ステップ 1.2

与えられた微分方程式に代入します。

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

ステップ 1.3

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = x^{3} - 4 + c$ は $y' = 3 x^{2}$ の解です

ステップ 2

初期条件に代入します。

$5 = 0^{3} - 4 + c$

ステップ 3

$c$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $0^{3} - 4 + c = 5$ として書き換えます。

$0^{3} - 4 + c = 5$

ステップ 3.2

$0^{3} - 4 + c$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 + c = 5$

ステップ 3.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4 + c = 5$

ステップ 3.3

$c$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$c = 5 + 4$

ステップ 3.3.2

$5$ と $4$ をたし算します。

$c = 9$

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