初期値を利用してcを解く

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

ステップ 1

与えられた解が微分方程式を満たすことを検算します。

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ステップ 1.1

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$c$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $c e^{2 x}$ の微分係数は $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.3.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$c e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 1.1.3.3.3.2

$2$ を $c e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 \cdot (c e^{2 x})$

ステップ 1.1.3.4

簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$2 c e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{2 x} c$

ステップ 1.1.3.4.2

$2 e^{2 x} c$ の因数を並べ替えます。

$2 c e^{2 x}$

ステップ 1.1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 c e^{2 x}$

ステップ 1.2

与えられた微分方程式に代入します。

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

ステップ 1.3

括弧を削除します。

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

ステップ 1.4

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = c e^{2 x}$ は $y' = 2 y$ の解です

ステップ 2

初期条件に代入します。

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

ステップ 3

$c$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $c e^{2 \cdot 0} = 3$ として書き換えます。

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

ステップ 3.2

$c e^{2 \cdot 0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$c e^{0} = 3$

ステップ 3.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$c \cdot 1 = 3$

ステップ 3.2.3

$c$ に $1$ をかけます。

$c = 3$

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