微分積分例

$(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $3 x^{2} y + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x^{2} y$ の微分係数は $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{3} + 2 x y + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0$

ステップ 2.4.2

$3 x^{2} + 2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 x^{2} + 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 x^{2} + 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x$

ステップ 5

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x$

ステップ 5.2

$3 y$ は $x$ に対して定数なので、 $3 y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x$

ステップ 5.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C$

ステップ 5.5

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.2

総和則では、 $y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y x^{3}$ の微分係数は $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.3.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.4

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{2} x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.4.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 8.6

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}$

ステップ 9.1.2

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$

ステップ 9.1.3

$x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y$

ステップ 9.1.3.2

$2 x y + 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y$

ステップ 9.1.3.3

$2 x y$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

ステップ 9.1.3.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 3$

ステップ 10

$3$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 3$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 3 d y$

ステップ 10.3

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = 3 y + C$

ステップ 11

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C$

問題を入力

微分積分 例

微分積分例