Ensembles finis Exemples

$x^{2} - 4 x - 12 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 6, - 2$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 6$

$x > 6$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 12 < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $20$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 12 < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 12$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 12 < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $20$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 < x < 6$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 2 < x < 6$

Notation d’intervalle :

$(- 2, 6)$

Étape 11

Saisissez VOTRE problème