Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2}$ , $[2, 5]$

Étape 1

La moyenne quadratique d’une fonction $f$ sur un intervalle spécifié $[a, b]$ dans la racine carrée de la moyenne arithmétique (moyenne) des carrés des valeurs d’origine.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Étape 2

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la moyenne quadratique d’une fonction.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 2} \cdot (\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{2} d x)}$

Étape 3

Évaluez l’intégrale.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{5} x^{2 \cdot 2} d x$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int_{2}^{5} x^{4} d x$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{2}^{5}$

Étape 3.3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Évaluez $\frac{1}{5} x^{5}$ sur $5$ et sur $2$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $3125$ .

$\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun à $3125$ et $5$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $3125$ .

$\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3.2.4

Divisez $625$ par $1$ .

$625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$625 - \frac{1}{5} \cdot 32$

Étape 3.3.2.5

Multipliez $32$ par $- 1$ .

$625 - 32 (\frac{1}{5})$

Étape 3.3.2.6

Associez $- 32$ et $\frac{1}{5}$ .

$625 + \frac{- 32}{5}$

Étape 3.3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$625 - \frac{32}{5}$

Étape 3.3.2.8

Pour écrire $625$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{32}{5}$

Étape 3.3.2.9

Associez $625$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{32}{5}$

Étape 3.3.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{625 \cdot 5 - 32}{5}$

Étape 3.3.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.11.1

Multipliez $625$ par $5$ .

$\frac{3125 - 32}{5}$

Étape 3.3.2.11.2

Soustrayez $32$ de $3125$ .

$\frac{3093}{5}$

Étape 4

Simplifiez la formule de la moyenne quadratique.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{5 - 2}$ par $\frac{3093}{5}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{(5 - 2) \cdot 5}}$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{3 \cdot 5}}$

Étape 4.3

Réduisez l’expression $\frac{3093}{3 \cdot 5}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3093$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Étape 4.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 5$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 (5)}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1031}{5}}$

Étape 4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1031}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Étape 4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031 \cdot 5}}{5}$

Étape 4.7.2

Multipliez $1031$ par $5$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Forme décimale :

$f_{rms} = 14.35966573 \dots$

Étape 6

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