Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x - 2$ , $(- 2, 4)$

Étape 1

Vérifiez si $f (x) = 4 x - 2$ est continu.

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Étape 1.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 1.2

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = 4 x - 2$ est différentiable.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.1.1.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$f' (x) = 4$

Étape 2.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4$ .

$4$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[- 2, 4]$ .

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Étape 2.2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2.2

$f' (x)$ est continu sur $[- 2, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur $[- 2, 4]$ car la dérivée est continue sur $[- 2, 4]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[- 2, 4]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[- 2, 4]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = 4 x - 2$ .

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 2}^{4} \sqrt{1 + {(4)}^{2}} d x$

Étape 6

Évaluez l’intégrale.

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$\sqrt{17} x]_{- 2}^{4}$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\sqrt{17} x$ sur $4$ et sur $- 2$ .

$(\sqrt{17} \cdot 4) - \sqrt{17} \cdot - 2$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{17}$ .

$4 \cdot \sqrt{17} - \sqrt{17} \cdot - 2$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$4 \sqrt{17} + 2 \sqrt{17}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $4 \sqrt{17}$ et $2 \sqrt{17}$ .

$6 \sqrt{17}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$6 \sqrt{17}$

Forme décimale :

$24.73863375 \dots$

Étape 8

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