Álgebra lineal Ejemplos

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 1

Obtén el producto escalar.

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Paso 1.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Paso 1.2.2

Suma $2$ y $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Paso 1.2.3

Suma $8$ y $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Paso 2

Obtén la norma de $b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Paso 2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Paso 2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Paso 2.2.4

Suma $1$ y $4$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Paso 2.2.5

Suma $5$ y $1$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Paso 3

Obtén la proyección de $a⃗$ en $b⃗$ usando la fórmula de proyección.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Paso 4

Sustituye $10$ por $a⃗ \cdot b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Paso 5

Sustituye $\sqrt{6}$ por $| | b⃗ | |$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Paso 6

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ por $b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.4.1

Cancela el factor común.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.4.2

Reescribe la expresión.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.1.5

Evalúa el exponente.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $10$ y $6$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{5}{3}$ por cada elemento de la matriz.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.4

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.4.2

Multiplica $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

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Paso 7.4.2.1

Combina $\frac{5}{3}$ y $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.4.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 7.4.3

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

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