Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

Paso 1

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es $0$ .

Paso 2

Evalúa el producto escalar de $[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ y $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{2}$ .

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + 0 - 1$

Paso 2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$1 - 1$

Paso 2.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 3

Evalúa el producto escalar de $[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ y $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Paso 3.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $0 (- \sqrt{2})$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{2}$ .

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + 0 - 1$

Paso 3.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$1 - 1$

Paso 3.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 4

Evalúa el producto escalar de $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ y $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Paso 4.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 - 2 + 1$

Paso 4.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$- 1 + 1$

Paso 4.2.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$0$

Paso 5

Los vectores son ortogonales, ya que el producto escalar son todos $0$ .

Ortogonal

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