Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

Paso 1

La distancia entre dos vectores $u⃗$ y $v⃗$ en $ℂ^{n}$ se define como $| | u⃗ - v⃗ | |$ , que es la norma euclidiana de la diferencia $u⃗ - v⃗$ .

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

Paso 2

Obtén la norma de la diferencia de $u⃗ - v⃗$ , donde $u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ y $v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Crea un vector de la diferencia.

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

Paso 2.2

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta $0$ de $2 i - 3$ .

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.2

Reorganiza los términos.

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.3

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.6

Suma $9$ y $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 2.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.7.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.8

Resta $1$ de $0$ .

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Paso 2.3.10

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

Paso 2.3.10.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

Paso 2.3.10.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

Paso 2.3.10.4

Multiplica $i$ por $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

Paso 2.3.11

Resta $2$ de $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

Paso 2.3.12

Suma $0$ y $i$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

Paso 2.3.13

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

Paso 2.3.14

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

Paso 2.3.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

Paso 2.3.16

Suma $0$ y $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

Paso 2.3.17

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

Paso 2.3.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

Paso 2.3.19

Suma $13$ y $1$ .

$\sqrt{14 + 1}$

Paso 2.3.20

Suma $14$ y $1$ .

$\sqrt{15}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{15}$

Forma decimal:

$3.87298334 \dots$

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