Álgebra lineal Ejemplos

$(1, - 2)$ , $(- 2, 1)$

Paso 1

Usa la fórmula del producto escalar para obtener el ángulo entre dos vectores.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Obtén el producto escalar.

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Paso 2.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

Paso 2.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Paso 3.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Paso 4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Paso 4.2.3

Suma $4$ y $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Paso 6.1.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Paso 6.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Paso 6.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Paso 6.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

Paso 6.2.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

Paso 6.4

Evalúa $\arccos (- \frac{4}{5})$ .

$θ = 143.13010235$

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