Obtener la inversa de la matriz resultante

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 2 + 1 & 4 + 2 \\ 6 + 3 & 8 + 4 \end{array}]$

Paso 2

Simplifica cada elemento.

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Paso 2.1

Suma $2$ y $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 4 + 2 \\ 6 + 3 & 8 + 4 \end{array}]$

Paso 2.2

Suma $4$ y $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 + 3 & 8 + 4 \end{array}]$

Paso 2.3

Suma $6$ y $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 6 \\ 9 & 8 + 4 \end{array}]$

Paso 2.4

Suma $8$ y $4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{array}]$

Paso 3

La inversa de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que $a d - b c$ es el determinante.

Paso 4

Obtén el determinante.

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 12 - 9 \cdot 6$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $3$ por $12$ .

$36 - 9 \cdot 6$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 9$ por $6$ .

$36 - 54$

Paso 4.2.2

Resta $54$ de $36$ .

$- 18$

Paso 5

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 6

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

$\frac{1}{- 18} [\begin{array}{c} 12 & - 6 \\ - 9 & 3 \end{array}]$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{18} [\begin{array}{c} 12 & - 6 \\ - 9 & 3 \end{array}]$

Paso 8

Multiplica $- \frac{1}{18}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{18} \cdot 12 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 9.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{18}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{18} \cdot 12 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.1.2

Factoriza $6$ de $18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 (3)} \cdot 12 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.1.3

Factoriza $6$ de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot 2) & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot 2) & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.1.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.2

Combina $\frac{- 1}{3}$ y $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 2}{3} & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{3} & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 9.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{18}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.5.2

Factoriza $6$ de $18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{6 (3)} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.5.3

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.5.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.5.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.6

Combina $\frac{- 1}{3}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- - 1}{3} \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.8

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 9.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{18}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.8.2

Factoriza $9$ de $18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{9 (2)} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.8.3

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 1) & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.8.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 1) & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.8.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.9

Combina $\frac{- 1}{2}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- - 1}{2} & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.11

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.11.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{18}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.11.2

Factoriza $3$ de $18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{3 (6)} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.11.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{3 \cdot 6} \cdot 3 \end{array}]$

Paso 9.11.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{6} \end{array}]$

Paso 9.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{6} \end{array}]$

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Obtener la inversa de la matriz resultante

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