Matemática discreta Ejemplos Ecuaciones y desigualdades

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$\frac{x - 2}{x + 4} \geq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 2$

$x = - 4$

Paso 5

Consolida las soluciones.

$x = 2, - 4$

Paso 6

Obtén el dominio de $\frac{x - 2}{x + 4}$ .

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{x - 2}{x + 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 4 = 0$

Paso 6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 6.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} \geq 0$

Paso 8.1.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 2}{(0) + 4} \geq 0$

Paso 8.2.3

$- 0.5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) - 2}{(4) + 4} \geq 0$

Paso 8.3.3

$0.25$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 4$ o $x \geq 2$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 4 or x \geq 2$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup [2, \infty)$

Paso 11

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