Matemática discreta Ejemplos Ecuaciones y desigualdades

Resolver x

$x^{2} + 10 x - 24 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 10 x - 24$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $10$ .

$- 2, 12$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 12) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 12 = 0$

Paso 4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5

Establece $x + 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 12$ igual a $0$ .

$x + 12 = 0$

Paso 5.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 12$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 12) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 12$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 12$

$- 12 < x < 2$

$x > 2$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 12$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 12$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 14$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 14$ en la desigualdad original.

${(- 14)}^{2} + 10 (- 14) - 24 < 0$

Paso 8.1.3

$32$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 12 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 12 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 10 (0) - 24 < 0$

Paso 8.2.3

$- 24$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} + 10 (4) - 24 < 0$

Paso 8.3.3

$32$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 12$ Falso

$- 12 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 12$ Falso

$- 12 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 12 < x < 2$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 12 < x < 2$

Notación de intervalo:

$(- 12, 2)$

Paso 11

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