Đại số tuyến tính Ví dụ

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 1

Tìm tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tích vô hướng của hai vectơ là tổng tích của các thành phần.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Bước 1.2.1.2

Nhân $0$ với $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Bước 1.2.1.3

Nhân $3$ với $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Bước 1.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Bước 1.2.3

Cộng $1$ và $3$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Bước 2

Tìm độ dài của $a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Bước 2.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Bước 2.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Bước 2.2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Bước 2.2.5

Cộng $1$ và $9$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Bước 3

Tìm hình chiếu của $b⃗$ lên $a⃗$ bằng công thức phép chiếu.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Bước 4

Thay $4$ bằng $b⃗ \cdot a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Bước 5

Thay $\sqrt{10}$ bằng $| | a⃗ | |$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Bước 6

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ bằng $a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại ${\sqrt{10}}^{2}$ ở dạng $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{10}$ ở dạng $10^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.1.4.2

Viết lại biểu thức.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.1.5

Tính số mũ.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 7.3

Nhân $\frac{2}{5}$ với mỗi phần tử của ma trận.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Bước 7.4

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $\frac{2}{5}$ với $1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Bước 7.4.2

Nhân $\frac{2}{5}$ với $0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Bước 7.4.3

Nhân $\frac{2}{5} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Bước 7.4.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

Nhập bài toán CỦA BẠN