Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 \end{array}]$

Bước 1

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{3}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $- \frac{1}{3}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 7 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + 2 & 2 - \frac{1}{3} & 3 + \frac{1}{3} & - 1 - \frac{7}{3} & 0 - 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 2.3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 \cdot - 2 & 5 - 2 (\frac{1}{3}) & 8 - 2 (- \frac{1}{3}) & - 4 - 2 (\frac{7}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & - \frac{10}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Bước 2.4

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{3}{5}$ để số tại $2, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $\frac{3}{5}$ để số tại $2, 3$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} & \frac{3}{5} (- \frac{10}{3}) & \frac{3}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Bước 2.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{13}{3} & \frac{26}{3} & - \frac{26}{3} & 0 \end{array}]$

Bước 2.5

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}$ để số tại $3, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - \frac{13}{3} R_{2}$ để số tại $3, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 & \frac{13}{3} - \frac{13}{3} \cdot 1 & \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot 2 & - \frac{26}{3} - \frac{13}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{13}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 2.6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - 2 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2 & \frac{7}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 2 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 2.6.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x_{1} - 2 x_{2} - x_{4} + 3 x_{5} = 0$

$x_{3} + 2 x_{4} - 2 x_{5} = 0$

$0 = 0$

Bước 4

Viết một vectơ nghiệm bằng cách giải theo các biến tự do trong mỗi hàng.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 x_{2} + x_{4} - 3 x_{5} \\ x_{2} \\ - 2 x_{4} + 2 x_{5} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}]$

Bước 5

Viết nghiệm dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Bước 6

Viết ở dạng một tập hợp nghiệm.

${x_{2} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{5} [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4}, x_{5} \in R}$

Bước 7

Đáp án là tập hợp các vectơ được tạo ra từ các biến tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 8

Kiểm tra xem vectơ có độc lập tuyến tính không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Liệt kê các vectơ.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Bước 8.2

Viết các vectơ dưới dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 8.3

Để xác định xem các cột trong ma trận có phụ thuộc tuyến tính hay không, hãy xác định xem phương trình $A x = 0$ có nghiệm không tầm thường hay không.

Bước 8.4

Viết ở dạng một ma trận bổ sung cho $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{2}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 1 - 1 & 0 - \frac{1}{2} & 0 + \frac{3}{2} & 0 - 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.3

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- 2$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- 2$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 (- \frac{1}{2}) & - 2 (\frac{3}{2}) & - 2 \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.4

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.4.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 3 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.5

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ để số tại $4, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{4} = R_{4} - R_{2}$ để số tại $4, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 + 3 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.5.2

Rút gọn $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.6

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $- \frac{1}{4}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.6.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $- \frac{1}{4}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.6.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{4} = R_{4} - 3 R_{3}$ để số tại $4, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{4} = R_{4} - 3 R_{3}$ để số tại $4, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.7.2

Rút gọn $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.8

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{5} = R_{5} - R_{3}$ để số tại $5, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{5} = R_{5} - R_{3}$ để số tại $5, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Bước 8.5.8.2

Rút gọn $R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.9

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.9.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.9.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.10

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.10.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.10.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.11

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.11.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 8.5.11.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 8.6

Loại bỏ các hàng có tất cả giá trị đều bằng không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 8.7

Viết ma trận ở dạng một hệ phương trình bậc nhất.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Bước 8.8

Vì nghiệm duy nhất của $A x = 0$ là nghiệm tầm thường nên các vectơ không phụ thuộc tuyến tính.

Độc lập tuyến tính

Bước 9

Vì vectơ độc lập tuyến tính nên chúng sẽ tạo thành cơ sở cho không gian hạch của ma trận.

Cơ sở của $Nul (A)$ : ${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Kích thước của $Nul (A)$ : $3$

Nhập bài toán CỦA BẠN