Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Bước 1

Để xác định xem chuỗi có hội tụ hay không, hãy xác định xem tích phân của dãy có hội tụ hay không.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\ln (| x |)$ tại $t$ và tại $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

Bước 4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

Bước 4.3

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

Bước 5

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$\infty$

Bước 6

Vì tích phân phân kỳ nên chuỗi phân kỳ.