Giải tích Ví dụ

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

Bước 1

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Bước 1.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = r x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Bước 1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Vì $r$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $r x$ đối với $x$ là $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Bước 1.3.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Nhân $r$ với $1$ .

$e^{r x} r$

Bước 1.3.2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{r x} r$ .

$r e^{r x}$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = r e^{r x}$

Bước 2

Tìm $y''$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập đạo hàm.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Bước 2.2

Vì $r$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $r e^{r x}$ đối với $x$ là $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = r x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $r x$ .

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $r x$ .

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Bước 2.4

Vì $r$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $r x$ đối với $x$ là $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.5

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.6

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Bước 2.10

Nhân $e^{r x}$ với $1$ .

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Bước 3

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Bước 4

Thay $y$ bằng $e^{r x}$ .

$4 (r^{2} y) = y$

Bước 5

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $4 r^{2} y = y$ cho $4 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 r^{2} y = y$ cho $4 y$ .

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Bước 5.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Bước 5.1.2.2.2

Chia $r^{2}$ cho $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Bước 5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Bước 5.1.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Bước 5.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Bước 5.3

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Bước 5.3.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 5.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Bước 5.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$r = \frac{1}{2}$

Bước 5.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$r = - \frac{1}{2}$

Bước 5.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Nhập bài toán CỦA BẠN