Giải tích Ví dụ

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

Bước 1

Kiểm tra xem đáp án đã cho có thỏa mãn phương trình vi phân đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 1.1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $c e^{2 x}$ đối với $x$ là $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$c e^{2 x} \cdot 2$

Bước 1.1.3.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $c e^{2 x}$ .

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 c e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} c$

Bước 1.1.3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{2 x} c$ .

$2 c e^{2 x}$

Bước 1.1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 c e^{2 x}$

Bước 1.2

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Bước 1.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Bước 1.4

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = c e^{2 x}$ là đáp án của $y' = 2 y$

Bước 2

Thay vào điều kiện ban đầu.

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Bước 3

Giải tìm $c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Bước 3.2

Rút gọn $c e^{2 \cdot 0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$c e^{0} = 3$

Bước 3.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$c \cdot 1 = 3$

Bước 3.2.3

Nhân $c$ với $1$ .

$c = 3$

Nhập bài toán CỦA BẠN