Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $1 - y^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1^{2} - y^{2}}$

Bước 1.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Bước 1.2.2

Nhân $1 - y^{2}$ với $\frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Bước 1.2.3.2

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Bước 1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Bước 1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Bước 1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $1 - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Bước 1.2.5.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(1 - y^{2}) d y = x^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 1 - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d y + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} - \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$y - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Bước 2.2.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Nhập bài toán CỦA BẠN