Giải tích Ví dụ

$y = {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$

Bước 2

Khai triển $\ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$ bằng cách di chuyển $\cos (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (\sin (x))$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (\sin (x))$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.7

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y'}{y} = {\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.9

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.10

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

Bước 3.2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Bước 3.2.11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.2.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Bước 3.2.11.2.2

Kết hợp $\cos^{2} (x)$ và $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Bước 3.2.11.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.3.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Bước 3.2.11.3.2

Tách các phân số.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Bước 3.2.11.3.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Bước 3.2.11.3.4

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = (\cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$y' = (\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Bước 5.1.2

Nhân $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$y' = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Bước 5.1.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Bước 5.1.2.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Bước 5.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Bước 5.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\cos (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ và ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

Bước 5.4

Nhân $\sin (x)$ với ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Di chuyển ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin (x)) \ln (\sin (x))$

Bước 5.4.2

Nhân ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ với $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin^{1} (x)) \ln (\sin (x))$

Bước 5.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung của ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ và $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Nhân với $1$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Bước 5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}}{1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Bước 5.5.2.4

Chia $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}$ cho $1$ .

$y' = \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Bước 5.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$ .

$y' = {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} \cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

Nhập bài toán CỦA BẠN