Giải tích Ví dụ

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Bước 1

Giá trị hiệu dụng (RMS) của một hàm số $f$ trong một khoảng xác định $[a, b]$ là căn bậc hai của trung bình cộng (trung bình) của bình phương của các giá trị ban đầu.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Bước 2

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị hiệu dụng của một hàm số.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Bước 3

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Giả sử $u = 4 x - 2$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Hãy đặt $u = 4 x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Tính đạo hàm $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Bước 3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 3.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 3.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 3.1.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.4.1

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 3.1.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 3.1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 x - 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Bước 3.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Nhân $4$ với $1$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Bước 3.1.3.2

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 3.1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 x - 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Bước 3.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Nhân $4$ với $3$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Bước 3.1.5.2

Trừ $2$ khỏi $12$ .

$u_{upper} = 10$

Bước 3.1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Bước 3.1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Bước 3.2

Kết hợp $u^{2}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Bước 3.3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Bước 3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Bước 3.5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $10$ và tại $2$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 3.5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $1000$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Bước 3.5.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Bước 3.5.2.4

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Bước 3.5.2.5

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Bước 3.5.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Bước 3.5.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Bước 3.5.2.8

Trừ $8$ khỏi $1000$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Bước 3.5.2.9

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{992}{3}$ .

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Bước 3.5.2.10

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{992}{12}$

Bước 3.5.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $992$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.1

Đưa $4$ ra ngoài $992$ .

$\frac{4 (248)}{12}$

Bước 3.5.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.11.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Bước 3.5.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Bước 3.5.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{248}{3}$

Bước 4

Rút gọn công thức giá trị hiệu dụng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{3 - 1}$ với $\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Bước 4.2

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức $\frac{248}{2 \cdot 3}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $248$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Bước 4.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Bước 4.3.4

Viết lại biểu thức.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Bước 4.4

Viết lại $\sqrt{\frac{124}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại $124$ ở dạng $2^{2} \cdot 31$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $124$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.5.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.5.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.6

Nhân $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.7.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.7.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.7.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.7.6.5

Tính số mũ.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Bước 4.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

Bước 4.8.2

Nhân $3$ với $31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Dạng thập phân:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Bước 6

Nhập bài toán CỦA BẠN