Математический анализ Примеры

${(x^{2} + 2)}^{9}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{9}$ и $g (x) = x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (2))$

Этап 1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (2 x + 0)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 2)}^{8} (2 x)$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{8} x$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $18 {(x^{2} + 2)}^{8} x$ .

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 2)}^{8}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x {(x^{2} + 2)}^{8}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 2)}^{8}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 2)}^{8})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{8}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (2))) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 2)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 2)}^{7} x) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8} \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим ${(x^{2} + 2)}^{8}$ на $1$ .

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7}) + {(x^{2} + 2)}^{8})$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 2)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$

Этап 2.11.2

Умножим $16$ на $18$ .

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 2)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$

Этап 2.11.3

Вынесем множитель $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ из $288 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{7} + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Вынесем множитель $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ из $288 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{7}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 2)}^{8}$

Этап 2.11.3.2

Вынесем множитель $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ из $18 {(x^{2} + 2)}^{8}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (x^{2} + 2)$

Этап 2.11.3.3

Вынесем множитель $18 {(x^{2} + 2)}^{7}$ из $18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 2)$

Этап 2.11.4

Добавим $16 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 2)}^{7} (17 x^{2} + 2)$