Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

Этап 1

Расстояние между двумя векторами $u⃗$ и $v⃗$ в $ℂ^{n}$ определяется как $| | u⃗ - v⃗ | |$ (евклидова норма разницы $u⃗ - v⃗$ ).

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

Этап 2

Найдем норму разницы $u⃗ - v⃗$ , где $u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ и $v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Создадим вектор из разности.

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

Этап 2.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $0$ из $2 i - 3$ .

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.2

Переставляем члены.

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.3

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.6

Добавим $9$ и $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.8

Вычтем $1$ из $0$ .

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

Этап 2.3.10.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

Этап 2.3.10.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

Этап 2.3.10.4

Умножим $i$ на $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

Этап 2.3.11

Вычтем $2$ из $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

Этап 2.3.12

Добавим $0$ и $i$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

Этап 2.3.13

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

Этап 2.3.14

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

Этап 2.3.15

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

Этап 2.3.16

Добавим $0$ и $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

Этап 2.3.17

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

Этап 2.3.18

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

Этап 2.3.19

Добавим $13$ и $1$ .

$\sqrt{14 + 1}$

Этап 2.3.20

Добавим $14$ и $1$ .

$\sqrt{15}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{15}$

Десятичная форма:

$3.87298334 \dots$

Введите СВОЮ задачу