Алгебра Примеры Разложение многочленов на множители

Определить, является ли простым

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$

Этап 1

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Этап 1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

Этап 1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

Этап 1.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9$

Этап 1.3.4

Умножим $- 6$ на $9$ .

$27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9$

Этап 1.3.5

Вычтем $54$ из $27$ .

$- 27 + 12 \cdot 3 - 9$

Этап 1.3.6

Умножим $12$ на $3$ .

$- 27 + 36 - 9$

Этап 1.3.7

Добавим $- 27$ и $36$ .

$9 - 9$

Этап 1.3.8

Вычтем $9$ из $9$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}$

Этап 1.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} + 9 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							+	$3 x$	-	$9$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x - 9$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							-	$3 x$	+	$9$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							-	$3 x$	+	$9$
										$0$

Этап 1.5.16

Since the remainder is $0$ , the final answer is the quotient.

$x^{2} - 3 x + 3$

Этап 1.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

Этап 2

Поскольку многочлен можно разложить на множители, он не является простым.

Не является простым

Введите СВОЮ задачу