Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ , $[0, 4]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $3 x$ de $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} - 3 x^{2} - 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$0 + 0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$8 - 12 - 1$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Subtraia $12$ de $8$ .

$- 4 - 1$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$- 5$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, - 1), (2, - 5)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 2.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 - 1$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$0 + 0 - 1$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 - 1$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 - 3 {(4)}^{2} - 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$64 - 3 \cdot 16 - 1$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$64 - 48 - 1$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia $48$ de $64$ .

$16 - 1$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $1$ de $16$ .

$15$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, - 1), (4, 15)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(4, 15)$

Mínimo absoluto: $(2, - 5)$

Etapa 4

Insira SEU problema