微分積分例

$y = x^{\ln (x)}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

ステップ 2

右側を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\ln (x)})$ を展開します。

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

ステップ 2.2

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

ステップ 2.3

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

ステップ 2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

ステップ 2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

ステップ 3.2

右側を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\ln^{2} (x)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\ln (x)$ とします。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

ステップ 3.2.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$\frac{1}{x}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

ステップ 3.2.4.2

$\frac{2}{x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

ステップ 3.2.5

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

ステップ 5

右側を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ と $x^{\ln (x)}$ をまとめます。

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

ステップ 5.2

$x^{\ln (x)}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x$ を $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

ステップ 5.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.2.2.3

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

ステップ 5.2.2.4

式を書き換えます。

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

ステップ 5.2.2.5

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ を $1$ で割ります。

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

ステップ 5.3

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ の因数を並べ替えます。

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

問題を入力

微分積分 例

微分積分例