微分積分例

$y = 7 x (3 - x)$ , $x = 3$

ステップ 1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x (3 - x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x (3 - x)]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x (3 - x)]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 3 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$7 (x \frac{d}{d x} [3 - x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$7 (x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$7 (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$7 (x \frac{d}{d x} [- x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (x (- 1 \cdot 1) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 (x \cdot - 1 + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$7 (- 1 \cdot x + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.6.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$7 (- x + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (- x + (3 - x) \cdot 1)$

ステップ 3.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.8.1

$3 - x$ に $1$ をかけます。

$7 (- x + 3 - x)$

ステップ 3.8.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$7 (- 2 x + 3)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$7 (- 2 x) + 7 \cdot 3$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ に $7$ をかけます。

$- 14 x + 7 \cdot 3$

ステップ 4.2.2

$7$ に $3$ をかけます。

$- 14 x + 21$

ステップ 5

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$- 14 \cdot 3 + 21$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 14$ に $3$ をかけます。

$- 42 + 21$

ステップ 6.2

$- 42$ と $21$ をたし算します。

$- 21$

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