Preálgebra Ejemplos Simplificación y evaluación de expresiones

Simplificar

$\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 3}$

Paso 1

Multiplica $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 3}$ por $\frac{2 \sqrt{2} + 3}{2 \sqrt{2} + 3}$ .

$\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 3} \cdot \frac{2 \sqrt{2} + 3}{2 \sqrt{2} + 3}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 3}$ por $\frac{2 \sqrt{2} + 3}{2 \sqrt{2} + 3}$ .

$\frac{(1 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + 3)}{(2 \sqrt{2} - 3) (2 \sqrt{2} + 3)}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(1 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + 3)}{4 {\sqrt{2}}^{2} + 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 9}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(1 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + 3)}{- 1}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{(1 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + 3)}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((1 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + 3))$

Paso 2.4.2

Reescribe $- 1 \cdot ((1 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + 3))$ como $- ((1 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + 3))$ .

$- ((1 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + 3))$

Paso 3

Expande $(1 + 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (1 (2 \sqrt{2} + 3) + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2} + 3))$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (1 (2 \sqrt{2}) + 1 \cdot 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2} + 3))$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (1 (2 \sqrt{2}) + 1 \cdot 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- (2 \sqrt{2} + 1 \cdot 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.3

Multiplica $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 \sqrt{2} \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 \cdot 2^{1} + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.4.5

Evalúa el exponente.

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 4 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 8 + 2 \sqrt{2} \cdot 3)$

Paso 4.1.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$- (2 \sqrt{2} + 3 + 8 + 6 \sqrt{2})$

Paso 4.2

Suma $2 \sqrt{2}$ y $6 \sqrt{2}$ .

$- (3 + 8 + 8 \sqrt{2})$

Paso 4.3

Suma $3$ y $8$ .

$- (11 + 8 \sqrt{2})$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 11 - (8 \sqrt{2})$

Paso 6

Multiplica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$- 11 - (8 \sqrt{2})$

Paso 6.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- 11 - 8 \sqrt{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 11 - 8 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$- 22.31370849 \dots$

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