微积分学示例

$y = 7 x (3 - x)$ , $x = 3$

解题步骤 1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x (3 - x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x (3 - x)]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x (3 - x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

$7 (x \frac{d}{d x} [3 - x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$7 (x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$7 (x \frac{d}{d x} [- x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 (x (- 1 \cdot 1) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 (x \cdot - 1 + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$7 (- 1 \cdot x + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$7 (- x + (3 - x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 (- x + (3 - x) \cdot 1)$

解题步骤 3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.8.1

将 $3 - x$ 乘以 $1$ 。

$7 (- x + 3 - x)$

解题步骤 3.8.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$7 (- 2 x + 3)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$7 (- 2 x) + 7 \cdot 3$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$- 14 x + 7 \cdot 3$

解题步骤 4.2.2

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$- 14 x + 21$

解题步骤 5

计算在 $x = 3$ 处的导数。

$- 14 \cdot 3 + 21$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 14$ 乘以 $3$ 。

$- 42 + 21$

解题步骤 6.2

将 $- 42$ 和 $21$ 相加。

$- 21$

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