微积分学示例

$y = {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$

解题步骤 2

通过将 $\cos (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$ 。

$\ln (y) = \cos (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

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解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 3.2

对右边求导。

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解题步骤 3.2.1

对 $\cos (x) \ln (\sin (x))$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \ln (\sin (x))$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y'}{y} = {\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2.10

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

解题步骤 3.2.11

化简。

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解题步骤 3.2.11.1

重新排序项。

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 3.2.11.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.11.2.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 3.2.11.2.2

组合 $\cos^{2} (x)$ 和 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 3.2.11.3

化简每一项。

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解题步骤 3.2.11.3.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 3.2.11.3.2

分离分数。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 3.2.11.3.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 3.2.11.3.4

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = (\cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = (\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$y' = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

解题步骤 5.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

解题步骤 5.1.2.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

解题步骤 5.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

解题步骤 5.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$y' = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\cos (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ 和 ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

解题步骤 5.4

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 5.4.1

移动 ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin (x)) \ln (\sin (x))$

解题步骤 5.4.2

将 ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin^{1} (x)) \ln (\sin (x))$

解题步骤 5.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

解题步骤 5.5

约去 ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

乘以 $1$ 。

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

解题步骤 5.5.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}}{1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

解题步骤 5.5.2.4

用 $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}$ 除以 $1$ 。

$y' = \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

解题步骤 5.6

将 $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$ 中的因式重新排序。

$y' = {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} \cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

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