微积分学示例

$y = x^{4} - 8 x^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 8 x^{2})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$4 x^{3} - 16 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 4 x^{3} - 16 x$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 16 x$

解题步骤 6

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1

从 $4 x^{3} - 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

解题步骤 6.1.1.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

解题步骤 6.1.1.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 6.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 6.1.3

因数。

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解题步骤 6.1.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 6.1.3.2

去掉多余的括号。

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 6.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6.6

最终解为使 $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2, 2$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

去掉圆括号。

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2}$

解题步骤 7.2

去掉圆括号。

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$

解题步骤 7.3

化简 $0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 8 \cdot 0^{2}$

解题步骤 7.3.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 8 \cdot 0$

解题步骤 7.3.1.3

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0$

解题步骤 7.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0$

解题步骤 8

化简 ${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 8.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 16 - 8 \cdot 4$

解题步骤 8.1.3

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$y = 16 - 32$

解题步骤 8.2

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$y = - 16$

解题步骤 9

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, 0)$

$(- 2, - 16)$

$(2, - 16)$

解题步骤 10

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