Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Bước 1

Sử dụng công thức tính tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Tìm tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tích vô hướng của hai vectơ là tổng tích của các thành phần.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2 \cdot 9$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18$

Bước 2.2.2

Cộng $2$ và $18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Bước 3.2.3

Cộng $1$ và $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Dạng chuẩn tắc là căn bậc hai của tổng các bình phương của mỗi phần tử trong vectơ.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}$

Bước 4.2.3

Cộng $4$ và $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5} \sqrt{85}})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Bước 6.1.2

Nhân $5$ với $85$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $425$ ở dạng $5^{2} \cdot 17$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Đưa $25$ ra ngoài $425$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Bước 6.2.1.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Bước 6.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$θ = \arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $20$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 \sqrt{17}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Bước 6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Bước 6.4

Nhân $\frac{4}{\sqrt{17}}$ với $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Bước 6.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $\frac{4}{\sqrt{17}}$ với $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Bước 6.5.2

Nâng $\sqrt{17}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Bước 6.5.3

Nâng $\sqrt{17}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Bước 6.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Bước 6.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Bước 6.5.6

Viết lại ${\sqrt{17}}^{2}$ ở dạng $17$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{17}$ ở dạng $17^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Bước 6.5.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Bước 6.6

Tính $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$θ = 14.03624346$

Nhập bài toán CỦA BẠN