Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{1}{10^{x}} + 4$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Этап 3.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Этап 3.1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Этап 3.1.1.2.2

Поскольку функция $10^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $4$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $4$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Этап 3.1.1.2.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $10^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Этап 3.1.1.2.3

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Этап 3.1.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $10^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Этап 3.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Этап 3.1.3.2

По правилу суммы производная $1 + 4 \cdot 10^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Этап 3.1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Этап 3.1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cdot 10^{x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Этап 3.1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Этап 3.1.3.5

Добавим $0$ и $4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Этап 3.1.3.6

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Этап 3.1.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Сократим общий множитель $10^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Этап 3.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общий множитель $\ln (10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Этап 3.1.4.2.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4$

Этап 3.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$4$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 4$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 4$

Нет наклонных асимптот

Этап 7

Введите СВОЮ задачу