कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{4}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.3.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

चरण 1.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ और $0$ जोड़ें.

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

चरण 1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

चरण 2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x \approx 3.02727941$

चरण 3

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

चरण 4

पहले व्युत्पन्न $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ में अंतराल $(- \infty, 3.02727941)$ से कोई भी संख्या, जैसे $0$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

चरण 4.2.1.2

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

चरण 4.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

चरण 4.2.1.4

$12$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

चरण 4.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f' (0) = 0 + 1$

चरण 4.2.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f' (0) = 1$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ में अंतराल $(3.02727941, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $6$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

चरण 5.2.1.2

$- 4$ को $216$ से गुणा करें.

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

चरण 5.2.1.3

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

चरण 5.2.1.4

$12$ को $36$ से गुणा करें.

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

चरण 5.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 864$ और $432$ जोड़ें.

$f' (6) = - 432 + 1$

चरण 5.2.2.2

$- 432$ और $1$ जोड़ें.

$f' (6) = - 431$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 431$ है.

$- 431$

चरण 6

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में $x = 3.02727941$ के आसपास बदल दिया, फिर $x = 3.02727941$ पर एक टर्निंग पॉइंट है.

चरण 7

टर्निंग पॉइंट ज्ञात करने के लिए $3.02727941$ का y-निर्देशांक ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$3.02727941$ का y-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $f (3.02727941)$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.02727941$ से बदलें.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

चरण 7.1.2

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

चरण 7.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.2.1

$3.02727941$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

चरण 7.1.2.2.2

$4$ को $27.7432619$ से गुणा करें.

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

चरण 7.1.2.2.3

$3.02727941$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

चरण 7.1.2.2.4

$- 1$ को $83.98660555$ से गुणा करें.

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

चरण 7.1.2.3

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.3.1

$110.9730476$ में से $83.98660555$ घटाएं.

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

चरण 7.1.2.3.2

$26.98644204$ और $3.02727941$ जोड़ें.

$30.01372146 + 5$

चरण 7.1.2.3.3

$30.01372146$ और $5$ जोड़ें.

$35.01372146$

चरण 7.2

$x$ और $y$ निर्देशांक बिंदु रूप में लिखें.

$(3.02727941, 35.01372146)$

चरण 8

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