कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
चरण 1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 1.2.3
को से गुणा करें.
चरण 1.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 1.3.3
को से गुणा करें.
चरण 1.4
स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.
चरण 1.4.1
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.4.2
और जोड़ें.
चरण 2
चरण 2.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.2.3
को से गुणा करें.
चरण 2.3
स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.
चरण 2.3.1
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.3.2
और जोड़ें.
चरण 3
फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें और हल करें.
चरण 4
चरण 4.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 4.1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 4.1.2.3
को से गुणा करें.
चरण 4.1.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 4.1.3.3
को से गुणा करें.
चरण 4.1.4
स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.
चरण 4.1.4.1
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.4.2
और जोड़ें.
चरण 4.2
का पहला व्युत्पन्न बटे , है.
चरण 5
चरण 5.1
पहले व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें.
चरण 5.2
समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें.
चरण 5.3
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 5.3.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 5.3.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 5.3.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.3.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 5.3.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 6
चरण 6.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
चरण 7
मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.
चरण 8
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 9
एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 10
चरण 10.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 10.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 10.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 10.2.1.1
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 10.2.1.2
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.2.1.3
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.2.1.4
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 10.2.1.4.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 10.2.1.4.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 10.2.1.4.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 10.2.1.5
गुणा करें.
चरण 10.2.1.5.1
और को मिलाएं.
चरण 10.2.1.5.2
को से गुणा करें.
चरण 10.2.1.6
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 10.2.2
सामान्य भाजक पता करें.
चरण 10.2.2.1
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.2
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.3
को भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखें.
चरण 10.2.2.4
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.5
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.6
के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.
चरण 10.2.2.7
को से गुणा करें.
चरण 10.2.3
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 10.2.4
व्यंजक को सरल बनाएंं.
चरण 10.2.4.1
को से गुणा करें.
चरण 10.2.4.2
में से घटाएं.
चरण 10.2.4.3
और जोड़ें.
चरण 10.2.5
अंतिम उत्तर है.
चरण 11
ये के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.
एक स्थानीय निम्नत्तम है
चरण 12