कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.2.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3.3

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

चरण 1.1.4.2

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 1.2.2.2

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 1.2.2.3

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 1.2.3.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

चरण 1.2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$12 x^{2} + 12 x + 0$

चरण 1.2.4.2

$12 x^{2} + 12 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $12 x^{2} + 12 x$ है.

$12 x^{2} + 12 x$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $12 x^{2} + 12 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$12 x^{2} + 12 x = 0$

चरण 2.2

$12 x^{2} + 12 x$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$12 x^{2}$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

$12 x (x) + 12 x = 0$

चरण 2.2.2

$12 x$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

चरण 2.2.3

$12 x (x) + 12 x (1)$ में से $12 x$ का गुणनखंड करें.

$12 x (x + 1) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.5

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $12 x (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 1$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0$ को $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

चरण 3.1.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

चरण 3.1.2.1.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

चरण 3.1.2.1.4

$- 8$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

चरण 3.1.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 0 + 1$

चरण 3.1.2.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f (0) = 0 + 1$

चरण 3.1.2.2.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f (0) = 1$

चरण 3.1.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$1$

चरण 3.2

$0$ को $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0, 1)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0, 1)$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $- 1$ को $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

चरण 3.3.2.1.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

चरण 3.3.2.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

चरण 3.3.2.1.4

$- 8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

चरण 3.3.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

चरण 3.3.2.2.2

$- 1$ और $8$ जोड़ें.

$f (- 1) = 7 + 1$

चरण 3.3.2.2.3

$7$ और $1$ जोड़ें.

$f (- 1) = 8$

चरण 3.3.2.3

अंतिम उत्तर $8$ है.

$8$

चरण 3.4

$- 1$ को $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(- 1, 8)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(- 1, 8)$

चरण 3.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(0, 1), (- 1, 8)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, - 1)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1.1$ से बदलें.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 1.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

चरण 5.2.1.2

$12$ को $1.21$ से गुणा करें.

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

चरण 5.2.1.3

$12$ को $- 1.1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

चरण 5.2.2

$14.52$ में से $13.2$ घटाएं.

$f'' (- 1.1) = 1.32$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $1.32$ है.

$1.32$

चरण 5.3

$- 1.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1.32$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, - 1)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 1)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- 1, 0)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{1}{2}$ से बदलें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{2}$ पर लागू करें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.6

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.6.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.2.1.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.7.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

चरण 6.2.1.7.2

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

चरण 6.2.1.7.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

चरण 6.2.1.7.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

चरण 6.2.1.8

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

चरण 6.2.2

$3$ में से $6$ घटाएं.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$- 3$

चरण 6.3

$- \frac{1}{2}$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 3$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(- 1, 0)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(- 1, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.1$ से बदलें.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0.1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

चरण 7.2.1.2

$12$ को $0.01$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

चरण 7.2.1.3

$12$ को $0.1$ से गुणा करें.

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

चरण 7.2.2

$0.12$ और $1.2$ जोड़ें.

$f'' (0.1) = 1.32$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $1.32$ है.

$1.32$

चरण 7.3

$0.1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $1.32$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को प्लस से माइनस या माइनस से प्लस में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(- 1, 8), (0, 1)$ हैं.

$(- 1, 8), (0, 1)$

चरण 9

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