सीमा परिभाषा का उपयोग करके दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा को पता करें

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(1, 6)$

चरण 1

$y = 3 x^{2} + 3 x$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

चरण 2

जांचें कि क्या दिया गया बिंदु दिए गए फलन के ग्राफ पर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ का मूल्यांकन $x = 1$ पर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

चरण 2.1.2.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = 3 + 3 (1)$

चरण 2.1.2.1.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = 3 + 3$

चरण 2.1.2.2

$3$ और $3$ जोड़ें.

$f (1) = 6$

चरण 2.1.2.3

अंतिम उत्तर $6$ है.

$6$

चरण 2.2

चूंकि $6 = 6$ , बिंदु ग्राफ पर है.

बिंदु ग्राफ पर है

चरण 3

स्पर्शरेखा रेखा का ढाल व्यंजक का व्युत्पन्न है.

$m$ $=$ , $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ का व्युत्पन्न

चरण 4

व्युत्पन्न की सीमा परिभाषा पर विचार करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 5

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ को $(x + h) (x + h)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + h) (x + h)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.3.1.2

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.3.2

$x h$ और $h x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.3.2.1

$x$ और $h$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.3.2.2

$h x$ और $h x$ जोड़ें.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

चरण 5.1.2.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

चरण 5.1.2.2

अंतिम उत्तर $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ है.

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

चरण 5.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$3 x$ ले जाएं.

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

चरण 5.2.2

$3 x^{2}$ ले जाएं.

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

चरण 5.2.3

$6 h x$ और $3 h^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

चरण 5.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

चरण 6

घटकों में प्लग करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

चरण 7.1.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

चरण 7.1.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

चरण 7.1.4

$3 x^{2}$ में से $3 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

चरण 7.1.5

$3 h^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

चरण 7.1.6

$3 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

चरण 7.1.7

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

चरण 7.1.8

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.8.1

$3 h^{2}$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

चरण 7.1.8.2

$6 h x$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

चरण 7.1.8.3

$3 h$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

चरण 7.1.8.4

$3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

चरण 7.1.8.5

$3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ में से $3 h$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

चरण 7.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

चरण 7.2.1.2

$3 (h + 2 x + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

चरण 7.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

चरण 7.3.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

चरण 7.4

$3 h$ और $6 x$ को पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

चरण 8

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

चरण 8.2

$6 x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

चरण 8.3

$3$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

चरण 8.4

$3$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

चरण 9

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

चरण 10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$6 x + 0 + 3$

चरण 10.2

$6 x$ और $0$ जोड़ें.

$6 x + 3$

चरण 11

$6 (1) + 3$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$m = 6 + 3$

चरण 11.2

$6$ और $3$ जोड़ें.

$m = 9$

चरण 12

ढलान $m = 9$ है और बिंदु $(1, 6)$ है.

$m = 9, (1, 6)$

चरण 13

एक रेखा के समीकरण सूत्र का उपयोग करके $b$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$b$ पता करने के लिए एक रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करें.

$y = m x + b$

चरण 13.2

समीकरण में $m$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$y = (9) \cdot x + b$

चरण 13.3

समीकरण में $x$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$y = (9) \cdot (1) + b$

चरण 13.4

समीकरण में $y$ के मान को प्रतिस्थापित करें.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

चरण 13.5

$b$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

समीकरण को $(9) \cdot (1) + b = 6$ के रूप में फिर से लिखें.

$(9) \cdot (1) + b = 6$

चरण 13.5.2

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$9 + b = 6$

चरण 13.5.3

$b$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $9$ घटाएं.

$b = 6 - 9$

चरण 13.5.3.2

$6$ में से $9$ घटाएं.

$b = - 3$

चरण 14

अब जबकि $m$ (ढलान) और $b$ (y- अंत:खंड) के मान ज्ञात हो गए हैं, रेखा के समीकरण को ज्ञात करने के लिए उन्हें $y = m x + b$ में प्रतिस्थापित करें.

$y = 9 x - 3$

चरण 15

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सीमा परिभाषा का उपयोग करके दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा को पता करें

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