Algèbre linéaire Exemples

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez le produit scalaire.

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Étape 1.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Étape 1.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Étape 1.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Étape 2

Déterminez la norme de $a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Étape 2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Étape 2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Étape 2.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $9$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Étape 3

Déterminez la projection de $b⃗$ sur $a⃗$ à l’aide de la formule de projection.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Étape 4

Remplacez $b⃗ \cdot a⃗$ par $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Étape 5

Remplacez $| | a⃗ | |$ par $\sqrt{10}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Étape 6

Remplacez $a⃗$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.1.5

Évaluez l’exposant.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{2}{5}$ par chaque élément de la matrice.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.4

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.4.3

Multipliez $\frac{2}{5} \cdot 3$ .

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Étape 7.4.3.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Étape 7.4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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