Algèbre linéaire Exemples

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

Étape 1

Utilisez la formule du produit en croix pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Déterminez le produit en croix.

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Étape 2.1

Le produit en croix de deux vecteurs $a⃗$ et $b⃗$ peut être écrit comme un déterminant avec les vecteurs d’unités standard de $ℝ^{3}$ et les éléments des vecteurs donnés.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Étape 2.2

Définissez le déterminant avec les valeurs données.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 2.3.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.3.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 2.3.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

Étape 2.3.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

Étape 2.3.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.3.9

Additionnez les termes entre eux.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Étape 2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.5.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Étape 2.6

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.6.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Étape 2.6.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Étape 2.6.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 0)$ .

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Étape 2.6.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

Étape 2.6.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

Étape 2.8

Réécrivez la réponse.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

Étape 3

Déterminez l’amplitude du produit en croix.

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Étape 3.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

Étape 3.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

Étape 3.2.4

Additionnez $1$ et $16$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

Étape 3.2.5

Additionnez $17$ et $4$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 4.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

Étape 4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

Étape 4.2.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Étape 4.2.5

Additionnez $4$ et $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Étape 5

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 5.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 5.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

Étape 5.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

Étape 5.2.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

Étape 5.2.5

Additionnez $5$ et $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

Étape 6

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\sqrt{21}$ et $\sqrt{6}$ en un radical unique.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $21$ et $6$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{7}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.3.4.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Étape 7.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Étape 7.6.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Étape 7.6.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Étape 7.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Étape 7.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Étape 7.6.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 7.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 7.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 7.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 7.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 7.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Étape 7.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

Étape 7.7

Multipliez $\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Étape 7.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{14}}{2}$ par $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

Étape 7.7.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

Étape 7.7.3

Multipliez $14$ par $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

Étape 7.7.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

Étape 7.8

Évaluez $\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ .

$θ = 56.78908923$

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