Algèbre Exemples

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y - 11 = 0$

Étape 1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$

Étape 2

Complétez le carré pour $4 x^{2} - 16 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 8}{4}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $256$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Étape 3

Remplacez $4 x^{2} - 16 x$ par $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ dans l’équation $4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 + 9 y^{2} - 18 y = 11$

Étape 4

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} - 18 y = 11 + 16$

Étape 5

Complétez le carré pour $9 y^{2} - 18 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 9}{9}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 5.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $324$ par $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $9 {(y - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(y - 1)}^{2} - 9$

Étape 6

Remplacez $9 y^{2} - 18 y$ par $9 {(y - 1)}^{2} - 9$ dans l’équation $4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} - 9 = 11 + 16$

Étape 7

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 11 + 16 + 9$

Étape 8

Simplifiez $11 + 16 + 9$ .

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Étape 8.1

Additionnez $11$ et $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 27 + 9$

Étape 8.2

Additionnez $27$ et $9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 36$

Étape 9

Divisez chaque terme par $36$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

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