Cálculo Ejemplos

$(2 - 2 x) e^{x}$

Paso 1

Escribe $(2 - 2 x) e^{x}$ como una función.

$f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 - 2 x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(2 - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 2.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1)$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 2$

Paso 2.1.3.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$(2 - 2 x) e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Paso 2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.2.1

Resta $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$- 2 x e^{x} + 0$

Paso 2.1.4.2.2

Suma $- 2 x e^{x}$ y $0$ .

$- 2 x e^{x}$

Paso 2.1.4.3

Reordena los factores de $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 e^{x} x$

Paso 2.1.4.4

Reordena los factores en $- 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{x}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 x e^{x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 x e^{x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x e^{x} = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Paso 3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 x e^{x} = 0$ verdadera.

$x = 0$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - 2 x e^{x}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 \cdot e^{- 1}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Paso 6.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{e}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $\frac{2}{e}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - 2 \cdot 1 \cdot e^{1}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (1) = - 2 e$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $- 2 e$ .

$- 2 e$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $- 2 e$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0)$

Decrecimiento en: $(0, \infty)$

Paso 9