Ejemplos

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Paso 1

Asigna un nombre a cada vector.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Paso 2

El primer vector ortogonal es el primer vector del conjunto dado de vectores.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Paso 3

Usa la fórmula para hallar los demás vectores ortogonales.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Paso 4

Obtén el vector ortogonal ${v⃗}_{2}$ .

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Paso 4.1

Usa la fórmula para obtener ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Paso 4.2

Sustituye $(0, 1, 1)$ por ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Paso 4.3

Obtén ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

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Paso 4.3.1

Obtén el producto escalar.

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Paso 4.3.1.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.2

Simplifica.

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Paso 4.3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.2.1.1

Multiplica $0$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.2.1.2

Multiplica $1$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Paso 4.3.1.2.1.3

Multiplica $1$ por $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Paso 4.3.1.2.2

Suma $0$ y $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Paso 4.3.1.2.3

Suma $1$ y $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Paso 4.3.2

Obtén la norma de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Paso 4.3.2.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.3.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Paso 4.3.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Paso 4.3.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Paso 4.3.2.2.5

Suma $2$ y $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Paso 4.3.3

Obtén la proyección de ${u⃗}_{2}$ en ${v⃗}_{1}$ usando la fórmula de proyección.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 4.3.4

Sustituye $2$ por ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 4.3.5

Sustituye $\sqrt{3}$ por $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Paso 4.3.6

Sustituye $(1, 1, 1)$ por ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.7.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.3.7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.7.1.4.1

Cancela el factor común.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.4.2

Reescribe la expresión.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.1.5

Evalúa el exponente.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por cada elemento de la matriz.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.7.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.3.7.3.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.7.3.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.7.3.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Paso 4.4

Sustituye la proyección.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Combina cada componente de los vectores.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.2

Resta $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.5

Resta $2$ de $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Paso 4.5.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 4.5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Paso 4.5.8

Resta $2$ de $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Paso 5

Obtén la base ortonormal dividiendo cada vector ortogonal por su norma.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Paso 6

Obtén el vector unitario de $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , donde ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Paso 6.1

Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector $v⃗$ , divídelo por la norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Paso 6.2

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Paso 6.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Paso 6.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Paso 6.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Paso 6.3.5

Suma $2$ y $1$ .

$\sqrt{3}$

Paso 6.4

Divide el vector por su norma.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Paso 6.5

Divide cada elemento del vector por $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Paso 7

Obtén el vector unitario de $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , donde ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Paso 7.1

Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector $v⃗$ , divídelo por la norma de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Paso 7.2

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.3

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 7.3.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Paso 7.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Paso 7.3.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 7.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 7.3.13

Suma $4$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Paso 7.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Paso 7.3.15

Suma $5$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Paso 7.3.16

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 7.3.16.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Paso 7.3.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.16.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 7.3.16.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Paso 7.3.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Paso 7.3.17

Reescribe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 7.4

Divide el vector por su norma.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Paso 7.5

Divide cada elemento del vector por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.4

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Paso 7.6.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Paso 7.6.8

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Paso 8

Sustituye los valores conocidos.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

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