Ejemplos

Obtén una base ortonormal mediante el método de Gram-Schmidt
, ,
Paso 1
Asigna un nombre a cada vector.
Paso 2
El primer vector ortogonal es el primer vector del conjunto dado de vectores.
Paso 3
Usa la fórmula para hallar los demás vectores ortogonales.
Paso 4
Obtén el vector ortogonal .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Usa la fórmula para obtener .
Paso 4.2
Sustituye por .
Paso 4.3
Obtén .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.1
Obtén el producto escalar.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.1.1
El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.
Paso 4.3.1.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.1.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.1.2.1.1
Multiplica por .
Paso 4.3.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 4.3.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 4.3.1.2.2
Suma y .
Paso 4.3.1.2.3
Suma y .
Paso 4.3.2
Obtén la norma de .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1
La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.
Paso 4.3.2.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.2.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 4.3.2.2.2
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 4.3.2.2.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 4.3.2.2.4
Suma y .
Paso 4.3.2.2.5
Suma y .
Paso 4.3.3
Obtén la proyección de en usando la fórmula de proyección.
Paso 4.3.4
Sustituye por .
Paso 4.3.5
Sustituye por .
Paso 4.3.6
Sustituye por .
Paso 4.3.7
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.7.1
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.7.1.1
Usa para reescribir como .
Paso 4.3.7.1.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 4.3.7.1.3
Combina y .
Paso 4.3.7.1.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.7.1.4.1
Cancela el factor común.
Paso 4.3.7.1.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 4.3.7.1.5
Evalúa el exponente.
Paso 4.3.7.2
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 4.3.7.3
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.7.3.1
Multiplica por .
Paso 4.3.7.3.2
Multiplica por .
Paso 4.3.7.3.3
Multiplica por .
Paso 4.4
Sustituye la proyección.
Paso 4.5
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.5.1
Combina cada componente de los vectores.
Paso 4.5.2
Resta de .
Paso 4.5.3
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 4.5.4
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 4.5.5
Resta de .
Paso 4.5.6
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 4.5.7
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 4.5.8
Resta de .
Paso 5
Obtén el vector ortogonal .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Usa la fórmula para obtener .
Paso 5.2
Sustituye por .
Paso 5.3
Obtén .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.1
Obtén el producto escalar.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.1.1
El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.
Paso 5.3.1.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.1.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.1.2.1.1
Multiplica por .
Paso 5.3.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 5.3.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 5.3.1.2.2
Suma y .
Paso 5.3.1.2.3
Suma y .
Paso 5.3.2
Obtén la norma de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.1
La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.
Paso 5.3.2.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.2.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 5.3.2.2.2
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 5.3.2.2.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 5.3.2.2.4
Suma y .
Paso 5.3.2.2.5
Suma y .
Paso 5.3.3
Obtén la proyección de en usando la fórmula de proyección.
Paso 5.3.4
Sustituye por .
Paso 5.3.5
Sustituye por .
Paso 5.3.6
Sustituye por .
Paso 5.3.7
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.7.1
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.7.1.1
Usa para reescribir como .
Paso 5.3.7.1.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 5.3.7.1.3
Combina y .
Paso 5.3.7.1.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.7.1.4.1
Cancela el factor común.
Paso 5.3.7.1.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 5.3.7.1.5
Evalúa el exponente.
Paso 5.3.7.2
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 5.3.7.3
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.7.3.1
Multiplica por .
Paso 5.3.7.3.2
Multiplica por .
Paso 5.3.7.3.3
Multiplica por .
Paso 5.4
Obtén .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.1
Obtén el producto escalar.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.1.1
El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.
Paso 5.4.1.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.1.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.1.2.1.1
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.1.2.1.1.1
Multiplica por .
Paso 5.4.1.2.1.1.2
Multiplica por .
Paso 5.4.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 5.4.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 5.4.1.2.2
Suma y .
Paso 5.4.1.2.3
Suma y .
Paso 5.4.2
Obtén la norma de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.1
La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.
Paso 5.4.2.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.2.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.2.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 5.4.2.2.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 5.4.2.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 5.4.2.2.3
Multiplica por .
Paso 5.4.2.2.4
Eleva a la potencia de .
Paso 5.4.2.2.5
Eleva a la potencia de .
Paso 5.4.2.2.6
Aplica la regla del producto a .
Paso 5.4.2.2.7
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 5.4.2.2.8
Eleva a la potencia de .
Paso 5.4.2.2.9
Aplica la regla del producto a .
Paso 5.4.2.2.10
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 5.4.2.2.11
Eleva a la potencia de .
Paso 5.4.2.2.12
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 5.4.2.2.13
Suma y .
Paso 5.4.2.2.14
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 5.4.2.2.15
Suma y .
Paso 5.4.2.2.16
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.2.16.1
Factoriza de .
Paso 5.4.2.2.16.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.2.16.2.1
Factoriza de .
Paso 5.4.2.2.16.2.2
Cancela el factor común.
Paso 5.4.2.2.16.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 5.4.2.2.17
Reescribe como .
Paso 5.4.2.2.18
Multiplica por .
Paso 5.4.2.2.19
Combina y simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.2.19.1
Multiplica por .
Paso 5.4.2.2.19.2
Eleva a la potencia de .
Paso 5.4.2.2.19.3
Eleva a la potencia de .
Paso 5.4.2.2.19.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 5.4.2.2.19.5
Suma y .
Paso 5.4.2.2.19.6
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.2.19.6.1
Usa para reescribir como .
Paso 5.4.2.2.19.6.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 5.4.2.2.19.6.3
Combina y .
Paso 5.4.2.2.19.6.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.2.19.6.4.1
Cancela el factor común.
Paso 5.4.2.2.19.6.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 5.4.2.2.19.6.5
Evalúa el exponente.
Paso 5.4.2.2.20
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.2.2.20.1
Combina con la regla del producto para radicales.
Paso 5.4.2.2.20.2
Multiplica por .
Paso 5.4.3
Obtén la proyección de en usando la fórmula de proyección.
Paso 5.4.4
Sustituye por .
Paso 5.4.5
Sustituye por .
Paso 5.4.6
Sustituye por .
Paso 5.4.7
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.1
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 5.4.7.1.2
Reescribe como .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.1.2.1
Usa para reescribir como .
Paso 5.4.7.1.2.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 5.4.7.1.2.3
Combina y .
Paso 5.4.7.1.2.4
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.1.2.4.1
Cancela el factor común.
Paso 5.4.7.1.2.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 5.4.7.1.2.5
Evalúa el exponente.
Paso 5.4.7.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 5.4.7.1.4
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.1.4.1
Factoriza de .
Paso 5.4.7.1.4.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.1.4.2.1
Factoriza de .
Paso 5.4.7.1.4.2.2
Cancela el factor común.
Paso 5.4.7.1.4.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 5.4.7.2
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
Paso 5.4.7.3
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.3.1
Cancela el factor común.
Paso 5.4.7.3.2
Reescribe la expresión.
Paso 5.4.7.4
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 5.4.7.5
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.5.1
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.5.1.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 5.4.7.5.1.2
Factoriza de .
Paso 5.4.7.5.1.3
Cancela el factor común.
Paso 5.4.7.5.1.4
Reescribe la expresión.
Paso 5.4.7.5.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 5.4.7.5.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.5.3.1
Multiplica por .
Paso 5.4.7.5.3.2
Multiplica por .
Paso 5.4.7.5.4
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.4.7.5.4.1
Multiplica por .
Paso 5.4.7.5.4.2
Multiplica por .
Paso 5.5
Sustituye las proyecciones.
Paso 5.6
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.1
Combina cada componente de los vectores.
Paso 5.6.2
Combina cada componente de los vectores.
Paso 5.6.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.3.1
Multiplica por .
Paso 5.6.3.2
Multiplica por .
Paso 5.6.4
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.4.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 5.6.4.2
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.4.2.1
Suma y .
Paso 5.6.4.2.2
Divide por .
Paso 5.6.5
Multiplica por .
Paso 5.6.6
Resta de .
Paso 5.6.7
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 5.6.8
Escribe cada expresión con un denominador común de , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.8.1
Multiplica por .
Paso 5.6.8.2
Multiplica por .
Paso 5.6.9
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.9.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 5.6.9.2
Resta de .
Paso 5.6.10
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.10.1
Factoriza de .
Paso 5.6.10.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.10.2.1
Factoriza de .
Paso 5.6.10.2.2
Cancela el factor común.
Paso 5.6.10.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 5.6.11
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 5.6.12
Obtén el denominador común
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.12.1
Escribe como una fracción con el denominador .
Paso 5.6.12.2
Multiplica por .
Paso 5.6.12.3
Multiplica por .
Paso 5.6.12.4
Multiplica por .
Paso 5.6.12.5
Multiplica por .
Paso 5.6.12.6
Reordena los factores de .
Paso 5.6.12.7
Multiplica por .
Paso 5.6.13
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 5.6.14
Simplifica mediante la resta de números.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.14.1
Resta de .
Paso 5.6.14.2
Resta de .
Paso 5.6.15
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.15.1
Factoriza de .
Paso 5.6.15.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.6.15.2.1
Factoriza de .
Paso 5.6.15.2.2
Cancela el factor común.
Paso 5.6.15.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 6
Obtén la base ortonormal dividiendo cada vector ortogonal por su norma.
Paso 7
Obtén el vector unitario de , donde .
Toca para ver más pasos...
Paso 7.1
Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector , divídelo por la norma de .
Paso 7.2
La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.
Paso 7.3
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 7.3.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 7.3.2
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 7.3.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 7.3.4
Suma y .
Paso 7.3.5
Suma y .
Paso 7.4
Divide el vector por su norma.
Paso 7.5
Divide cada elemento del vector por .
Paso 8
Obtén el vector unitario de , donde .
Toca para ver más pasos...
Paso 8.1
Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector , divídelo por la norma de .
Paso 8.2
La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.
Paso 8.3
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 8.3.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 8.3.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 8.3.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 8.3.2
Eleva a la potencia de .
Paso 8.3.3
Multiplica por .
Paso 8.3.4
Eleva a la potencia de .
Paso 8.3.5
Eleva a la potencia de .
Paso 8.3.6
Aplica la regla del producto a .
Paso 8.3.7
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 8.3.8
Eleva a la potencia de .
Paso 8.3.9
Aplica la regla del producto a .
Paso 8.3.10
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 8.3.11
Eleva a la potencia de .
Paso 8.3.12
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 8.3.13
Suma y .
Paso 8.3.14
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 8.3.15
Suma y .
Paso 8.3.16
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 8.3.16.1
Factoriza de .
Paso 8.3.16.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 8.3.16.2.1
Factoriza de .
Paso 8.3.16.2.2
Cancela el factor común.
Paso 8.3.16.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 8.3.17
Reescribe como .
Paso 8.4
Divide el vector por su norma.
Paso 8.5
Divide cada elemento del vector por .
Paso 8.6
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 8.6.1
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
Paso 8.6.2
Multiplica por .
Paso 8.6.3
Mueve a la izquierda de .
Paso 8.6.4
Mueve a la izquierda de .
Paso 8.6.5
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
Paso 8.6.6
Multiplica por .
Paso 8.6.7
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
Paso 8.6.8
Multiplica por .
Paso 9
Obtén el vector unitario de , donde .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.1
Para obtener un vector unitario en la misma dirección de un vector , divídelo por la norma de .
Paso 9.2
La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.
Paso 9.3
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.3.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 9.3.2
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.3.2.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 9.3.2.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 9.3.3
Eleva a la potencia de .
Paso 9.3.4
Multiplica por .
Paso 9.3.5
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 9.3.6
Eleva a la potencia de .
Paso 9.3.7
Aplica la regla del producto a .
Paso 9.3.8
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 9.3.9
Eleva a la potencia de .
Paso 9.3.10
Suma y .
Paso 9.3.11
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 9.3.12
Suma y .
Paso 9.3.13
Cancela el factor común de y .
Toca para ver más pasos...
Paso 9.3.13.1
Factoriza de .
Paso 9.3.13.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.3.13.2.1
Factoriza de .
Paso 9.3.13.2.2
Cancela el factor común.
Paso 9.3.13.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 9.3.14
Reescribe como .
Paso 9.3.15
Cualquier raíz de es .
Paso 9.4
Divide el vector por su norma.
Paso 9.5
Divide cada elemento del vector por .
Paso 9.6
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 9.6.1
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
Paso 9.6.2
Multiplica por .
Paso 9.6.3
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
Paso 9.6.4
Combina y .
Paso 9.6.5
Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.
Paso 9.6.6
Combina y .
Paso 10
Sustituye los valores conocidos.
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