Precálculo Ejemplos

$(6, 8)$ , $(2, 4)$

Paso 1

Usa la fórmula del producto escalar para obtener el ángulo entre dos vectores.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Obtén el producto escalar.

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Paso 2.1

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de los componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

Paso 2.2.2

Suma $12$ y $32$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

Paso 3.2.3

Suma $36$ y $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

Paso 3.2.4

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Paso 3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| a⃗ | = 10$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

La norma es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada elemento en el vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Paso 4.2.3

Suma $4$ y $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Paso 4.2.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $44$ y $10$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $44$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $2$ de $10 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $22$ y $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $5 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Paso 6.4.2

Mueve $\sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Paso 6.4.4

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Paso 6.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

Paso 6.4.7

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 6.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

Paso 6.4.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

Paso 6.5

Multiplica $5$ por $5$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Paso 6.6

Evalúa $\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

$θ = 10.30484646$

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